EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

   SDG [TG*] = = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

SDG [TG*] = SISTEMA DIMENSIONAL GRACELI = TENSORES DE GRACELI.

 TEORIA DO SISTEMA DIMENSIONAL CATEGORIAL GRACELI.

QUE SE FUNDAMENTA NAS DIMENSÕES E CATEGORIAS FÍSICAS DE GRACELI.

NÃO É APENAS UM SISTEMA DINÂMICO , MAS TAMBÉM UM SISTEMA DE TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, RELAÇÕES, CONJUNTOS, HOMEOMORFISMOS, E OUTROS, QUE SE FUNDAMENTAM CONFORME O SISTEMA DE DIMENSÕES E CATEGORIAS FÍSICAS DE GRACELI.

ISTO INCLUI TAMBÉM A TOPOGEOMETRIA FÍSICA RELATIVISTA DE GRACELI.

ÁLGEBRA E GEOMETRIA ALGÉBRICA DIMENSIONAL CATEGORIAL FÍSICA DE GRACELI. 

SISTEMA DE FUNÇÕES, FORMAS, RELAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES TENSORES, GRUPOS ALGÉBRICOS HOMOMÓRFICOS OU NÃO, QUE CONSISTEM  E OU SE TRANSFORMAM DENTRO DO SISTEMA DIMENSIONAL CATEGORIAL FÍSICO DE GRACELI.

DE GRACELI

Flor de maracujá

 

   VARIEDADE E GEOMETRIA TOPOGEOMÉTRICA DE GRACELI.

QUE SE FUNDAMENTA EM AGENTES  DE TRANSFORMAÇÕES  DE: 

 AÇÃO, TENSORES, ENERGIAS E FORÇAS [CAMPOS].

SOBRE ESTRUTURAS [E FORMAS] E ÂNGULOS,

SISTEMA  DE ESPAÇO, SUPERFÍCIES DE DE ONDAS COM AGENTES DE GRACELI:

 AÇÃO, TENSORES, ENERGIAS E FORÇAS [CAMPOS].

ESFERA, SUPERFÍCIES, ESPAÇOS  COM AGENTES DE GRACELI :

 AÇÃO, TENSORES, ENERGIAS E FORÇAS [CAMPOS].

Uma integral de superfície é uma generalização das integrais múltiplas sobre uma superfície.^[1][2][3] Dada uma superfície S, pode-se integrar sobre ela um campo escalar ou um campo vetorial. Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias, tais como em problemas envolvendo fluxo de fluido e de calor, eletricidade, magnetismo, massa e centro de gravidade.^[4] Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície.^[2] Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo, indicado por pela letra grega maiúscula Φ.^[3]

Definição

Seja ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle g=g(x,y,z)}$, uma função definida em todos os pontos de uma superfície ${\displaystyle S}$. A integral de superfície de ${\displaystyle g}$ sobre ${\displaystyle S}$ é definida por^[2]:

$${\displaystyle \int \int _{S}gd\sigma }$$

 [ SDG [TG*] = = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  ]= 

onde, ${\displaystyle d\sigma }$ é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.

Se ${\displaystyle S}$ é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial ${\displaystyle F}$ sobre ${\displaystyle S}$ por^[3]:

$${\displaystyle \int \int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} d\sigma }$$

 / [ SDG [TG*] = = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  ]= 

onde, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ é o campo normal escolhido na orientação da superfície. O integrando na forma de produto escalar evidencia que somente as componentes do campo perpendiculares à superfície ${\displaystyle S}$ contribuirão no cálculo do fluxo.^[4]

Orientação

Assim como as curvas, também as superfícies precisam ser orientadas, a fim de que, ao adotar certa convenção, sempre se encontre o mesmo sinal para fluxo Φ. Diz-se que uma superfície de dois lados é orientável e que uma superfície de um único lado é não orientável. Assim, existe a necessidade de distinção dos lados de uma superfície orientável e convenção para orientação considerada positiva e negativa, pois ao inverter a orientação de S inverte-se o sinal de Φ.^[4]

Sendo assim:

O sinal de ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}}$ serve para orientar ${\displaystyle S}$.

Para o cálculo de ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}}$:
Suponha que a superfície ${\displaystyle S}$ seja dada como: ${\displaystyle z=g(x,y)}$ ou ${\displaystyle y=g(x,z)}$ ou ${\displaystyle x=g(y,z)}$.
Reescrevendo cada uma das equações na forma ${\displaystyle G(x,y,z)=0}$ é possível interpretar a última como a equação de uma superfície de nível de uma função ${\displaystyle w=G(x,y,z)}$.
A partir do conceito que ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}G}$ é um vetor 3-D e representa um vetor normal à superfície de nível ${\displaystyle G(x,y,z)=0}$, pode-se definir ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}}$ da seguinte forma:

${\displaystyle {\overrightarrow {n}}={\frac {{\overrightarrow {\nabla }}G}{|{\overrightarrow {\nabla }}G|}}}$ ou ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}=-{\frac {{\overrightarrow {\nabla }}G}{|{\overrightarrow {\nabla }}G|}}}$

 [ SDG [TG*] = = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  ]= 

Elemento de área

Elemento de área de uma superfície lisa.

O cálculo do elemento infinitesimal de área sobre a superfície pode ser feito com o auxílio de uma projeção adequada da superfície ${\textstyle S}$ sobre um plano do espaço cartesiano. Suponhamos que ${\textstyle S}$ é descrita pela superfície de nível ${\displaystyle f(x,y,z)=c}$. Consideremos, ainda, um plano dado ${\textstyle \alpha }$ de normal unitária ${\displaystyle \mathbf {p} }$. A projeção de ${\displaystyle S}$ sobre ${\displaystyle \alpha }$ define uma região planar que denotaremos por ${\textstyle R}$.

Com isso, aproximamos um elemento de área ${\displaystyle \Delta S}$ da superfície ${\displaystyle S}$ pela área do elemento tangente associado. Este, por sua vez, pode ser calculado em função do elemento de área ${\displaystyle \Delta S}$ projetado sobre o plano ${\displaystyle \alpha }$. Denotando este por ${\displaystyle \Delta A}$, temos^[2]:

$${\displaystyle \Delta S\approx {\frac {1}{|\cos \gamma |}}\Delta A}$$

  [ SDG [TG*] = = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  ]= 

onde, ${\displaystyle \gamma }$ é o ângulo entre o vetor gradiente ${\displaystyle \nabla f}$ e o vetor ${\displaystyle \mathbf {p} }$ calculado em algum ponto de ${\displaystyle \Delta S}$.

Assim, podemos calcular o elemento de área ${\displaystyle d\sigma }$ por^[2]:

$${\displaystyle d\sigma ={\frac {1}{|\cos \gamma |}}dA}$$

  [ SDG [TG*] = = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  ]= 

onde, ${\displaystyle \gamma }$ é o ângulo entre o vetor gradiente ${\displaystyle \nabla f}$ e o vetor ${\displaystyle \mathbf {p} }$. ${\displaystyle dA}$ é o elemento de área planar.

Observamos, ainda, que o ângulo ${\displaystyle \gamma }$ está relacionado ao produto interno entre ${\displaystyle \nabla f}$ e ${\displaystyle \mathbf {p} }$ por:

$${\displaystyle \nabla f\cdot \mathbf {p} =|\nabla f||\mathbf {p} |\cos \gamma }$$

  [ SDG [TG*] = = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  ]= 

Segue, daí, que o elemento de área ${\displaystyle d\sigma }$ pode ser calculado por:

$${\displaystyle d\sigma ={\frac {|\nabla f||\mathbf {p} |}{|\nabla f\cdot \mathbf {p} |}}dA}$$

  [ SDG [TG*] = = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  ]= 

Teorema

Seja ${\displaystyle S}$ uma superfície suave da forma ${\displaystyle z=g(x,y)}$ ou ${\displaystyle y=g(x,z)}$ ou ${\displaystyle x=g(y,z)}$ e seja ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ um campo vetorial contínuo em ${\displaystyle S}$. Supondo também que a equação de ${\displaystyle S}$ seja reescrita como ${\displaystyle G(x,y,z)=0}$, ao passar ${\displaystyle g}$ para o membro esquerdo da equação e seja ${\displaystyle R}$ a projeção de ${\displaystyle S}$ no plano coordenado das variáveis independentes de ${\displaystyle g}$.^[4] Então:

$${\displaystyle \phi =\int \int _{S}{\overrightarrow {F}}\bullet {\overrightarrow {n}}dS=\pm \int \int _{R}{\overrightarrow {F}}\bullet {\overrightarrow {\nabla }}GdA}$$

  [ SDG [TG*] = = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  ]= 

Cálculo da integral de superfície

Com base no cálculo do elemento de área sobre uma superfície podemos calcular a integral de superfície como uma integral dupla sobre uma região planar.^[2] Seja ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle g=g(x,y,z)}$, uma função definida em todos os pontos de uma superfície ${\displaystyle S}$ descrita pela superfície de nível ${\displaystyle f(x,y,z)=c}$. Seja, ainda, ${\displaystyle R}$ a região planar definida pela projeção de ${\displaystyle S}$ sobre um plano dado ${\displaystyle \alpha }$. Então, a integral de superfície de ${\displaystyle g}$ sobre ${\displaystyle S}$ pode ser calculada pela seguinte integral dupla sobre ${\displaystyle R}$:

$${\displaystyle \int \int _{S}gd\sigma =\int \int _{R}g{\frac {|\nabla f||\mathbf {p} |}{|\nabla f\cdot \mathbf {p} |}}dA}$$

  [ SDG [TG*] = = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  ]=